医者の不養生プラス英語が苦手な人集まれ！英語嫌いを克服。についてです。
look upは直訳すると「上を見る」ですが、「（景気・状況が）改善する」という意味もあります。
また、look upの後に「人」が続く時は、visitと同じ「訪問する」という意味になりますが、「物」が続く時は、「（本などで情報を）調べる」という別の意味になるので気を付けましょう。
I must look up my old friend who lives nearby.
（近くに住む古い友人の家に、訪問しなければならない。）
Look up the word in the dictionary.
（その単語を辞書で調べなさい。）
It's not my business
businessには割と多くの意味、使い方があり、本来の｢仕事、ビジネス」から派生した使い方もあります。
多くのbusinessを使う言い方に一生懸命することという意味合いで使われています。中学の英語学習くらいで授業でbusinessの単語を習う時に教わることが多いみたいです。
「それは私のbusinessではない」という直訳から「自分には係わりのないことだ」という意味で、｢そんなこと私には関係ないよ～」と言いたいときに使うと何となくかっこいいかもしれません。
out of ～ businessで、似たような使い方をすることもあります。